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函数的复合过程

2019-12-03 10:40:33文/张敏

函数的复合过程:复合是叠置函数t=φ(x)与y=f(t)复合而成的函数y=f[φ(x)]叫复合函数。可见,两个函数复合不是四则运算而成,而是函数的“叠置”。

函数的复合过程

关于函数的复合运算

关于函数的复合运算复合函数,是按一定次序把有限个函数合成得到的函数,对两个函数f:A关于函数的复合运算→B,g:B→C,由h(x)=g(f(x))(x∈A)确定的函数h称为f与g的复合函数,记为g·f,这样,g·f是A到C的函数,(g·f)(x)=g(f(x)),它的值域是g(f(A)),记号“·”

表示两个函数的复合,它是二元运算.这个运算不满足交换律,即一般来说g·f≠f·g,但它满足结合律:对f:A→B,g:B→C,h:C→D,有h·(g·f)=(h·g)·f,于是可以定义h·g·f=h·(g·f)=(h·g)·f,一般地,对n+1个满足Bi⊆Ai+1(i=1,2,…,n)的函数fi:Ai→Bi(i=1,2,…,n+1)可以定义n重复合函数fn+1·fn·…·f1,任给两个函数f:A→B,g:C→D,当且仅当f(A)⊆C时可以得到复合函数g·f:A→D;

当且仅当g(C)⊆A时可以得到f·g:C→B,当函数用变量表示为t=f(x),y=g(t),且f的值域含于g的定义域时,称t为复合函数y=g(f(x))的中间变量,函数的复合是研究函数的一种工具,一方面它提供了构造各式各样的新函数的方法;另一方面,为研究复杂的函数,常将它们看成一些简单函数的复合。

多元复合函数求导数的基本步骤

(1)确定最终函数与最终变量。

(2)通过中间函数,或者通过引进中间函数符号,或通过序号标记中间函数复合过程函数,确定复合过程。

(3)关键:绘制变量关系图。

(4)链式法则:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导。从最终函数到最终变量有几条路径就有几项相加,每条路径上的分段数就是每项相乘的项数;依据这个法则,就可以直接非常准确地写出计算式。

(5)完成计算。

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